Vraag # 92256

Antwoord:

Zie uitleg

Uitleg:

Breek dit in twee delen, ten eerste het binnenste gedeelte:

# E ^ x #

Dit is positief en neemt toe voor alle reële getallen en gaat van 0 naar # Oo # zoals #X# gaat van # -Oo # naar # Oo #

De we hebben:

#arctan (u) #

De heeft een juiste horizontale asymptoot op # Y = pi / 2 #. Ga van # u = 0 rarr oo #, op # U = 0 # deze functie is positief en neemt over dit domein toe, neemt een waarde van 0 aan # U = 0 #, een waarde van # Pi / 4 # op # U = 1 # en een waarde van # Pi / 2 # op # U = oo #.

Deze punten worden daarom getrokken # X = -oo, 0, oo # respectievelijk en we eindigen met een grafiek die er als volgt uitziet:

grafiek {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Dat is het positieve deel van de # Arctan # functie strekken zich uit over de gehele reële lijn met de linkse waarde die wordt uitgerekt tot een horizontale asymptoot op # Y = 0 #.

Antwoord:

Zie uitleg

Uitleg:

Domein is # RR #

Symmetrie

Noch met betrekking tot de #X# as of w.r.t de oorsprong.

#arctan (e ^ (- x)) # vereenvoudigt het niet #arctan (e ^ x) #

noch aan # -Arctan (e ^ x) #

onderschept

#X# onderschept: geen

We kunnen niet krijgen #y = 0 # omdat dat zou vereisen # e ^ x = 0 #

Maar # E ^ x # is nooit #0#, het benadert alleen #0# zoals # Xrarr-oo #.

Zo, # Yrarr0 # zoals # Xrarr-oo # en de #X# as os een horizontaal

asymptoot aan de linkerkant.

# Y # onderscheppen: # Pi / 4 #

Wanneer # X = 0 #, we krijgen #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptoten:

Verticaal: geen

# Arctan # is tussen # -Pi / 2 # en # Pi / 2 # per definitie, dus nooit naar # Oo #

Horizontaal:

Links: # Y = 0 # zoals hierboven besproken

Rechts: # Y = pi / 2 #

Dat weten we als # Thetararrpi / 2 # met #theta <pi / 2 #, we krijgen #tantheta rarr oo #

zoals # Xrarroo #, we krijgen # e ^ x rarroo #, dus # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Eerste afgeleide

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # is nooit #0# en nooit ongedefinieerd, dus er zijn geen kritische cijfers.

Voor iedere #X# wij hebben #y '> 0 # dus de functie wordt steeds groter # (- oo, oo) #

Er zijn geen lokale extrema.

Tweede afgeleide

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#Y '' # is nooit ongedefinieerd en dat is het ook #0# op # X = 0 #

Teken van #Y '' #:

Op # (- oo, 0) #, we krijgen # e ^ (2x) <1 # zo #y ''> 0 # en de grafiek is concaaf omhoog

Op # (0, oo) #, we krijgen # e ^ (2x)> 1 # zo #y '' <0 # en de grafiek is hol naar beneden

De concaviteit verandert om # X = 0 #, dus het buigpunt is:

# (0, pi / 4) #

Teken nu de grafiek