Plz help me hoe eenheidscirkel werkt?

Antwoord:

De eenheidscirkel is de reeks punten één eenheid vanaf de oorsprong:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #

Het heeft een gemeenschappelijke trigonometrische parametrische vorm:

# (x, y) = (cos theta, sin theta) #

Hier is een niet-trigonometrische parameterinstelling:

# (x, y) = ((1 - t ^ 2} / {1 + t ^ 2}, {2t} / {1 + t ^ 2}) #

Uitleg:

De eenheidscirkel is de cirkel met straal 1 gecentreerd op de oorsprong.

Aangezien een cirkel gelijk is aan de punt op een punt, is de eenheidscirkel een constante afstand van 1 vanaf de oorsprong:

# (x-0) ^ 2 + (y -0) ^ 2 = 1 ^ 2 #

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #

Dat is de niet-parametrische vergelijking voor de eenheidscirkel. Normaal gesproken zijn we in trig geïnteresseerd in de parametrische uit, waarbij elk punt op de eenheidscirkel een functie is van een parameter # Theta, # de engel. Voor elk # Theta # we krijgen het punt op de eenheidscirkel waarvan de hoek aan de oorsprong staat tot het positieve #X# as is # Theta. # Dat punt heeft coördinaten:

#x = cos theta #

#y = sin theta #

Zoals # Theta # varieert van #0# naar # 2 pi # de meetkundige plaats veegt de eenheidscirkel uit.

We verifiëren het

# x ^ 2 + y ^ 2 = cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 quad sqrt #

Studenten bereiken steevast voor deze trigonometrische parametrering van de eenheidscirkel. Maar het is niet de enige. Overwegen

# x = {1 - t ^ 2} / {1 + t ^ 2} #

#y = {2t} / {1 + t ^ 2} #

Zoals # T # veegt de reals, deze parameterisatie krijgt de eenheidscirkel behalve één punt, #(-1,0).#

We verifiëren het

# x ^ 2 + y ^ 2 = ({1-t ^ 2} / {1 + t ^ 2}) ^ 2 + ({2t} / {1 + t ^ 2}) ^ 2 #

# = {1 - 2t ^ 2 + t ^ 4 + 4t ^ 2} / {(1 + t ^ 2) ^ 2} #

# = {1 + 2t ^ 2 + t ^ 4} / {(1 + t ^ 2) ^ 2} #

# = {(1 + t ^ 2) ^ 2} / {(1 + t ^ 2) ^ 2} #

# = 1 quad sqrt #

Deze parametrering komt overeen met de geometrische constructie van een halve hoek. We plaatsen de oorspronkelijke hoek als het midden van een cirkel. De stralen van de hoek kruisen de cirkel op twee punten. Elke hoek die wordt ingesloten door die twee punten, d.w.z. de hoek waarvan de top zich op de cirkel bevindt en waarvan de stralen de twee punten passeren, zal de helft van de oorspronkelijke hoek zijn.

Antwoord:

De trig-eenheidcirkel heeft veel functies.

Uitleg:

1. De driehoek van de trig-eenheid bepaalt hoofdzakelijk hoe trigonometrische functies werken. Overweeg de boog AM, met extremiteit M, die tegen de klok in roteert op de eenheidscirkel. De projecties op de 4-as

   definieer de 4 belangrijkste trig-functies.

   De as OA definieert de functie f (x) = sin x

   De as OB definieert de functie: f (x) = cos x

   De as AT definieert de functie: f (x) = tan x

   De as BU definieert de functie f (x) = wieg x.

2. De eenheidscirkel wordt gebruikt als bewijs om trig-vergelijkingen op te lossen.

   Bijvoorbeeld. Oplossen #sin x = sqrt2 / 2 #

   De eenheidscirkel geeft 2 oplossingen, die 2 acs x zijn die dezelfde sin-waarde hebben # (Sqrt2 / 2) # --> #x = pi / 4 #, en #x = (3pi) / 4 #

3. De eenheidscirkel helpt ook bij het oplossen van trig-ongelijkheid.

   Bijvoorbeeld. Oplossen #sin x> sqrt2 / 2 #.

   De eenheidscirkel toont dat #sin x> sqrt2 / 2 # wanneer de boog x binnen het interval varieert # (pi / 4, (3pi) / 4) #.