Los voor x in RR de vergelijking sqrt op (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Antwoord:

#x in 5, 10 #

Uitleg:

Laat # U = x-1 #. We kunnen dan de linkerkant van de vergelijking herschrijven als

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Let op de aanwezigheid van #sqrt (u) # in de vergelijking en dat we alleen op zoek zijn naar echte waarden, dus we hebben de beperking #u> = 0 #. Daarmee zullen we nu alle resterende gevallen bekijken:

Zaak 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Dus U = # 4 # is de enige oplossing in het interval #0, 4#

Case 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Omdat dit een tautologie is, is elke waarde in #4, 9# is een oplossing.

Case 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Dus #u = 9 # is de enige oplossing in het interval # 9, oo) #

Alles bij elkaar genomen, hebben we #4, 9# als de oplossing ingesteld voor echte waarden van # U #. Vervangen #x = u + 1 #, we komen uit bij de definitieve oplossingsset #x in 5, 10 #

Kijkend naar de grafiek van de linkerkant, komt dit overeen met wat we zouden verwachten: