Antwoord:
Er zijn eigenlijk vier waarden voor # X / 2 # op de eenheidscirkel, dus vier waarden voor elke trig-functie. De belangrijkste waarde van de halve hoek is rond # 2.2 ^ circ. #
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {wieg} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Zie de uitleg voor de anderen.
Uitleg:
Laten we eerst een beetje over het antwoord praten. Er zijn twee hoeken op de eenheidscirkel waarvan de cotangens is #13#. Er is er een in de buurt # 4.4 ^ circ #, en een andere is dat plus # 180 ^ circ #, noem het # 184.4 ^ circ #. Elk van deze heeft twee halve hoeken, opnieuw gescheiden door # 180 ^ circ. # De eerste heeft halve hoeken # 2.2 ^ circ # en # 182.2 ^ circ #, de tweede heeft halve hoeken # 92,2 ^ circ # en # 272.2 ^ circ #, Dus er zijn echt vier halve hoeken in kwestie, met verschillende maar gerelateerde waarden voor hun trig-functies.
We zullen de bovenstaande hoeken als benaderingen gebruiken, dus we hebben namen voor hen.
Hoeken met cotangens van 13:
#text {Arc} tekst {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {cot} 13 approx 184.4 ^ circ #
Halve hoeken:
# 1/2 tekst {Arc} tekst {cot} 13 approx 2.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + tekst {Arc} tekst {wieg} 13) approx 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {wieg} 13) approx 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + tekst {Arc} tekst {wieg} 13) approx 272.2 ^ circ #
OK, de dubbele hoekformules voor cosinus zijn:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
dus de relevante halfhoek-formules zijn
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
Dat is allemaal voorbereidend. Laten we het probleem oplossen.
We doen eerst de kleine hoek, # 2.2 ^ circ. # We zien dat de rest gewoon multiples van zijn # 90 ^ circ # daarboven, zodat we hun trig-functies uit deze eerste hoek kunnen halen.
Een cotangens van 13 is een helling van #1/13# komt dus overeen met een rechthoekige driehoek met tegenovergestelde #1#, aangrenzend #13# en hypotenusa #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (tekst {Arc} tekst {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
Nu passen we de halfhoek-formules toe. Voor onze kleine hoek in het eerste kwadrant kiezen we de positieve tekens.
#cos (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
We zouden kunnen proberen de breuken te vereenvoudigen en te verplaatsen buiten de radicaal, maar ik laat het hier gewoon achter.
#sin (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
De tangens halve hoek is het quotiënt van die, maar het is gemakkelijker te gebruiken
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1 / 2text {Arc} tekst {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
OK, dat is het moeilijkste deel, maar laten we de andere hoeken niet vergeten.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Nu hebben we de overgebleven hoeken, die sinus- en cosinusveranderingen uitwisselen. We zullen de vormen niet herhalen, behalve voor raaklijnen.
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Oef.
Antwoord:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#color (crimson) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #
Uitleg:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1 - 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + wieg ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + wieg ^ 2 (x / 2) #
Maar wij weten het #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Wanneer #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #
Wanneer #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
