Wat is de algemene formule voor de discriminant van een polynoom van graad n?

Antwoord:

Zie uitleg …

Uitleg:

De discriminant van een polynoom #f (x) # van graad # N # kan worden beschreven in termen van de determinant van de Sylvester-matrix van #f (x) # en #f '(x) # als volgt:

Gegeven:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Wij hebben:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

De Sylvester-matrix van #f (x) # en #f '(x) # is een # (2n-1) XX (2n-1) # matrix gevormd met behulp van hun coëfficiënten, vergelijkbaar met het volgende voorbeeld voor # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Vervolgens de discriminant #Delta# wordt gegeven in termen van de determinant van de Sylvester-matrix door de formule:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Voor # N = 2 # wij hebben:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(die je misschien meer herkenbaar vindt in het formulier #Delta = b ^ 2-4ac #)

Voor # N = 3 # wij hebben:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

De discriminanten voor quadratuur (# N = 2 #) en cubics (# N = 3 #) zijn het nuttigst omdat ze je precies vertellen hoeveel echte, herhaalde of niet-reële complexe nullen een polynoom heeft.

De interpretatie van de discriminant voor polynomen van hogere orde is beperkter, maar heeft altijd de eigenschap dat de polynoom nullen heeft herhaald als en alleen als de discriminant nul is.

#kleur wit)()#

Verder lezen

Zie