Hoe kies je twee getallen waarvoor de som van hun vierkantswortels minimaal is, wetende dat het product van de twee getallen een is?

Antwoord:

# X = y = sqrt (a) #

Uitleg:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "is minimaal" #

# "We zouden kunnen werken met de Lagrange-multiplier L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Afgeleide opbrengsten:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(na vermenigvuldiging met x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Nu moeten we nog steeds x = 0 controleren." #

# "Dit is onmogelijk als x * y = 0 dan." #

# "Dus we hebben de unieke oplossing" #

# X = y = sqrt (a) #

Antwoord:

Ik zal proberen om je door de onderstaande oplossingsmethode te loodsen.

Uitleg:

Waar zoeken we naar?

Twee cijfers. Laten we ze namen geven, #X# en # Y #.

Herlees de vraag.

We willen de som van de vierkantswortels minimaal maken.

Dit vertelt ons twee dingen

(1) beide nummers zijn niet-negatief (om imaginaries te vermijden)

(2) We zijn geïnteresseerd in de waarde van # Sqrtx + sqrty #

Herlees de vraag.

Er wordt ons ook verteld dat het product van #X# en # Y # is #een#.

Wie kiest #een#?

In het algemeen, als een oefening iets zegt over #een# of # B # of # C #, we nemen die als constanten die door iemand anders zijn gegeven.

Dus misschien wordt ons verteld "het product van #X# en # Y # is #11#'

of "het product van #X# en # Y # is #124#'.

We moeten dit allemaal tegelijk oplossen door te zeggen # Xy = a # voor wat constant #een#.

Dus we willen maken # Sqrtx + sqrty # zo klein mogelijk houden # Xy = a # voor wat constant #een#.

Dit lijkt op een optimalisatieprobleem en het is er één. Dus ik wil een functie van één variabele minimaliseren.

# Sqrtx + sqrty # heeft twee variabelen, #X# en # Y #

# Xy = a # heeft ook twee variabelen, #X# en # Y # (onthouden #een# is een constante)

Zo #y = a / x #

Nu willen we minimaliseren:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Zoek de afgeleide, dan de kritieke nummer (s) en test het kritieke aantal (s). Eindig vinden # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

kritisch # SQRTA #

#f '(x) <0 # voor #x <sqrta # en #f '(x)> 0 # voor #x> sqrta #, dus #f (SQRTA) # is een minimum.

#x = sqrta # en #y = a / x = sqrta #

Antwoord:

# 2 root (4) (a) #

Uitleg:

Dat weten we voor #x_i> 0 # wij hebben

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_nn} {n} #

dan

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # dan

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

maar # x_1x_2 = een # dan

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #