Wat is de afgeleide van y = (sinx) ^ x?

Antwoord:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Uitleg:

Gebruik logaritmische differentiatie.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Gebruik eigenschappen van # Ln #)

Onderscheid differentiëren: (gebruik de productregel en de kettingruis)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Dus we hebben:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Oplossen voor # Dy / dx # door te vermenigvuldigen met #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Antwoord:

# D / dx (SiNx) ^ x = (ln (SiNx) + xcotx) (SiNx) ^ x #

Uitleg:

De eenvoudigste manier om dit te zien is het gebruik van:

# (SiNx) ^ x = e ^ (ln ((SiNx) ^ x)) = e ^ (xln (SiNx)) #

Het nemen van de afgeleide hiervan geeft:

# D / dx (SiNx) ^ x = (d / dxxln (SiNx)) e ^ (xln (SiNx)) #

# = (Ln (SiNx) + xd / dx (ln (SiNx))) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + x (d / dxsinx) / SiN) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + xcosx / SiN) (SiNx) ^ x #

# = (Ln (SiNx) + xcotx) (SiNx) ^ x #

Nu moeten we opmerken dat als # (SiNx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # is niet gedefinieerd.

Wanneer we echter het gedrag van de functie rondom de #X#waarvoor dit geldt, vinden we dat de functie zich goed genoeg gedraagt om dit te laten werken, omdat:

# (SiNx) ^ x # benaderingen 0

dan:

#ln ((sinx) ^ x) # zal naderen # -Oo #

zo:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # zal ook 0 benaderen

Verder merken we op dat als #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # zal een complex getal zijn; echter, alle algebra en calculus die we hebben gebruikt, werken ook in het complexe vlak, dus dit is geen probleem.

Antwoord:

Algemener…

Uitleg:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

Wat is de eerste afgeleide en tweede afgeleide van 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(de eerste afgeleide)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(de tweede afgeleide)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(de eerste afgeleide)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(de tweede afgeleide)"

Wat is de tweede afgeleide van x / (x-1) en de eerste afgeleide van 2 / x?

Vraag 1 Als f (x) = (g (x)) / (h (x)) en dan door de quotiëntregel f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Dus als f (x) = x / (x-1) dan is de eerste afgeleide f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) en de tweede afgeleide is f '' (x) = 2x ^ -3 Vraag 2 Als f (x) = 2 / x dit kan worden herschreven als f (x) = 2x ^ -1 en met behulp van standaardprocedures voor het nemen van de afgeleide f '(x) = -2x ^ -2 of, als je de voorkeur geeft aan f' (x) = - 2 / x ^ 2

Wat is de eerste afgeleide en tweede afgeleide van x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2 om de eerste afgeleide te vinden, moeten we eenvoudigweg drie regels gebruiken: 1. Machtsregel d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Constante regel d / dx (c) = 0 (waarbij c een geheel getal is en geen variabele) 3. Som- en verschilregel d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] de eerste afgeleide resulteert in: 4x ^ 3-0 wat vereenvoudigt tot 4x ^ 3 om de tweede afgeleide te vinden, we moeten de eerste afgeleide afleiden door opnieuw de machtsregel toe te passen die resulteert in : 12x ^ 3 je kunt doorgaan als je wilt: derde afgeleide = 36x ^ 2 vierde afgeleide