Laat G een cyclische groep zijn en G = 48. Hoe vind je alle subgroepen van G?

Antwoord:

De subgroepen zijn allemaal cyclisch, met orden die delen #48#

Uitleg:

Alle subgroepen van een cyclische groep zijn zelf cyclisch, met orders die delers zijn van de volgorde van de groep.

Om te zien waarom, veronderstel # G = <a> # is cyclisch met volgorde # N # en #H sube G # is een subgroep.

Als # a ^ m in H # en # a ^ n in H #, dan is dat zo # A ^ (pm + qn) # voor alle gehele getallen #p, q #.

Zo # a ^ k in H # waar #k = GCF (m, n) # en beide # A ^ m # en # A ^ n # zijn in # <a ^ k> #.

In het bijzonder, als # a ^ k in H # met #GCF (k, N) = 1 # dan #H = <a> = G #.

Ook niet dat als #mn = N # dan # <a ^ m> # is een subgroep van # G # met bestelling # N #.

We kunnen afleiden:

• # H # heeft niet meer dan #1# generator.
• De bestelling van # H # is een factor van # N #.

In ons voorbeeld #N = 48 # en de subgroepen zijn isomorf voor:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

wezen:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #