Antwoord:
De rest van delen #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # door # (X-k) # is #f (k) #, dus los het op #f (k) = 9 # het gebruik van de rationele wortelstelling en factoring om te vinden:
#k = 1/2, -2 # of #-3#
Uitleg:
Als je probeert te delen #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # door # X-k # je krijgt een rest van #f (k) #…
Dus als de rest is #9#, we zijn in feite bezig om op te lossen #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Aftrekken #9# van beide kanten om te krijgen:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Door de rationele wortelstelling zullen alle rationele wortels van deze kubus van de vorm zijn # P / q # in de laagste termen, waar #p, q in ZZ #, #q! = 0 #, # P # een deler van de constante term #-6# en # Q # een deler van de coëfficiënt #2# van de leidende term.
Dat betekent dat de mogelijke rationele wortels zijn:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Laten we de eerste proberen:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
zo #k = 1/2 # is een root en # (2k-1) # is een factor.
Delen door # (2k-1) # vinden:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Dus de mogelijke oplossingen zijn:
#k = 1/2 #, #k = -2 # en #k = -3 #
