Bewijs dat de curves x = y ^ 2 en xy = k haaks snijden als 8k ^ 2 = 1?

Antwoord:

#-1#

Uitleg:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

de twee curven zijn

#x = y ^ 2 #

en

#x = sqrt (1/8) / y of x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

voor de curve #x = y ^ 2 #, de afgeleide met betrekking tot # Y # is # 2y #.

voor de curve #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, de afgeleide met betrekking tot # Y # is # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

het punt waarop de twee curven samenkomen, is wanneer # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

sinds #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

het punt waarop de curves samenkomen is # (1/2, sqrt (1/2)) #

wanneer #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

de gradiënt van de tangens naar de curve #x = y ^ 2 # is # 2sqrt (1/2), of 2 / (sqrt2) #.

wanneer #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

de gradiënt van de tangens naar de curve #xy = sqrt (1/8) # is # -2sqrt (1/8), of -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

We zoeken een voorwaarde voor # K # zodanig dat de bochten # X = y ^ 2 # en # Xy = k # "haaks gesneden". Wiskundig gezien betekent dit dat de curven orthogonaal moeten zijn, wat op zijn beurt betekent dat op alle punten de raaklijnen met de curven bij ieder gegeven punt staan loodrecht.

Als we de familie van krommen onderzoeken voor verschillende waarden van # K # we krijgen:

We merken meteen op dat we op zoek zijn naar een enkel punt waar de raaklijn loodrecht staat, dus in het algemeen zijn de curven op alle punten niet orthogonaal.

Laten we eerst de single coördineren, # P #, van het snijpunt, dat is de gelijktijdige oplossing van:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Vervanging van Eq A in B krijgen we:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

En dus stellen we de kruisingcoördinaat vast:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

We hebben ook de gradiënten van de raaklijnen op deze coördinaat nodig. Voor de eerste curve:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Dus het verloop van de tangens, # M_1 #, naar de eerste curve bij # P # is:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Evenzo, voor de tweede curve:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Dus het verloop van de tangens, # M_2 #, naar de tweede curve bij # P # is:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Als deze twee raaklijnen loodrecht staan, vereisen we dat:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Leid naar het gegeven resultaat:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

En met deze waarde van # K #