Antwoord:
Zie de uitleg hieronder
Uitleg:
De functie is
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
De gedeeltelijke derivaten zijn
# (Delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Laat # (Delf) / (delx) = 0 # en # (Delf) / (dely) = 0 #
Dan, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0)} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2F) / (Dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
De Hessische matrix is
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (verw ^ 2f) / (delxdely)) ((del ^ 2f) / (delydelx), (verw ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
De bepalende factor is
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
daarom
Er zijn geen zadelpunten.
#D (1,1)> 0 # en # (Del ^ 2F) / (delx ^ 2)> 0 #, er is een lokaal minimum op #(-3,3)#
Antwoord:
Lokaal minimum: #(-3,3)#
Uitleg:
De groep punten die zowel extrema- als zadelpunten bevatten, wordt gevonden wanneer beide # (Delf) / (delx) (x, y) # en # (Delf) / (dely) (x, y) # zijn gelijk aan nul.
Ervan uitgaande dat #X# en # Y # zijn onafhankelijke variabelen:
# (Delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (Delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Dus we hebben twee gelijktijdige vergelijkingen, die gelukkig toevallig lineair zijn:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Van de eerste:
# Y = -2x-3 #
Vervangen in de tweede:
# X + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# X-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# X = -3 #
Vervangen door de eerste:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Dus er is een punt waar de eerste afgeleiden uniform nul worden, ofwel een extremum of een zadel, bij # (X, y) = (- 3,3) #.
Om af te leiden welke, we moeten de matrix van tweede afgeleiden berekenen, de Hessische matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2F) / (delx ^ 2), (del ^ 2F) / (delxdely)), ((del ^ 2F) / (delydelx), (del ^ 2F) / (Dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2F) / (Dely ^ 2) = 2 #
Dus
# (((Del ^ 2F) / (delx ^ 2), (del ^ 2F) / (delxdely)), ((del ^ 2F) / (delydelx), (del ^ 2F) / (Dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Alle derivaten van tweede orde zijn uniform constant, ongeacht de waarden van #X# en # Y #, dus we hoeven de waarden voor het interessante punt niet specifiek te berekenen.
NB De volgorde van differentiatie doet er niet toe voor functies met continue tweede afgeleiden (Clairault's Stelling, toepassing hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), en dus verwachten we dat # (Del ^ 2F) / (delxdely) = (del ^ 2F) / (delydelx) #, zoals we zien in ons specifieke resultaat hierboven.
In dit geval met twee variabelen kunnen we het type punt afleiden uit de determinant van de Hessiaan, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 01/04 = 3 #.
Een vorm van de test om te beheren wordt hier gegeven:
We zien dat de bepalende factor is #>0#, en zo is het ook # (Del ^ 2F) / (delx ^ 2) #. Dus concluderen we dat #(-3,3)#, het enige punt van nul eerste afgeleide, is een lokaal minimum van de functie.
Als een sanitaire controle voor een eendimensionale functievraag post ik meestal de grafiek ervan, maar Socratic heeft geen oppervlakte- of contourplotteringsfaciliteit die geschikt is voor tweedimensionale functies, voor zover ik kan zien. Dus ik zal de twee functies overplot #f (-3, y) # en #f (x 3) #, die niet het hele functiedomein voor ons karakteriseren, maar ons het minimum tussen hen zal tonen, dat verschijnt zoals verwacht bij # Y = 3 # en # X = -3 #, het nemen van identieke functiewaarde # F = -5 # in ieder geval.
Zoals #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x 3) = x ^ 2 + 4 + 6x #
grafiek {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
