Wat zijn de mogelijke rationele wortels x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Antwoord:

Dit kwintool heeft geen rationele wortels.

Uitleg:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Door de rationele wortelstelling, alle nullen van #f (x) # zijn zichtbaar in de vorm # P / q # voor gehele getallen #p, q # met # P # een deler van de constante term #-12# en # Q # een deler van de coëfficiënt #1# van de leidende term.

Dat betekent dat het enige mogelijk is rationeel nullen zijn:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Let daar op #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # heeft alle negatieve coëfficiënten. Vandaar #f (x) # heeft geen negatieve nullen.

Dus het enige mogelijke rationeel nullen zijn:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Evalueren #f (x) # voor elk van deze waarden vinden we dat er geen nul is. Zo #f (x) # heeft geen rationeel nullen.

Net als de meeste quintics en polynomen van hogere graad, zijn de nullen niet uitgedrukt in termen van # N #de wortels of elementaire functies, inclusief trigonometrische functies.

U kunt numerieke methoden zoals Durand-Kerner gebruiken om benaderingen te vinden:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #