Leg alsjeblieft uit, dit is een lineaire transformatie of niet?

Antwoord:

Zie hieronder

Uitleg:

Een trasformatie #T: V tot W # wordt gezegd lineair te zijn als het de volgende twee eigenschappen heeft:

• #T (v_1 V_2 +) = T (v_1) + T (V_2) # voor iedere # v_1, v_2 in V #
• #T (cv) = cT (v) # voor iedere #v in V # en elke scalaire waarde # C #

Merk op dat de tweede eigenschap ervan uitgaat # V # is ingebed met twee bewerkingen van som- en scalaire vermenigvuldiging. In ons geval is de som de som tussen polynomen en de vermenigvuldiging is de vermenigvuldiging met reële getallen (neem ik aan).

Wanneer je een polynoom afleid, verlaag je de graad met #1#, dus als je een polynoom van graad afleidt #4# twee keer krijg je een polynoom van graad #2#. Merk op dat, wanneer we spreken van de set van alle vier graden polyinomiaal, we eigenlijk de verzameling van alle polynomen van graden bedoelen hooguit vier. In feite is een generieke graad vier polynomiaal

# A_0 a_1x + + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 ^ 4 + a_4x #

Als je de graad twee polynomiaal wilt # 3 + 6x-5x ^ 2 #, bijvoorbeeld, kies je gewoon

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Met dat gezegd zijnde, laten we de polynomiale ruimte van graden identificeren # N # met # P_n #en definieer onze operator #T: P_4 tot P_2 # zoals dat #T (f (x)) = f '' (x) #

Laten we de eerste eigenschap bewijzen: neem aan dat we de polynomen hebben

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

en

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Dit betekent dat # P_1 + P_2 # is gelijk aan

# (A_0 b_0 +) + (+ a_1 b_1) x + (A_2 + B_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + P_2) # is de tweede afgeleide van deze polynoom, zo is het

# 2 (A_2 + B_2) 6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Ik heb tweemaal de machtsregel toegepast voor afleiding: de tweede afgeleide van # X ^ n # is #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Laten we het nu berekenen #T (p_1) #, d.w.z. de tweede afgeleide van # P_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Evenzo #T (P_2) #, d.w.z. de tweede afgeleide van # P_2 #, is

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Als je deze uitdrukking optelt, kun je zien wat we hebben

#T (p_1 P_2 +) = T (p_1) + T (P_2) #

De tweede eigenschap wordt op een vergelijkbare manier weergegeven: gegeven een polynoom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

we hebben voor elk reëel getal # C #,

# cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

de tweede afgeleide is dus

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

wat opnieuw hetzelfde is als computergebruik #T (p) #en vermenigvuldig vervolgens alles met # C #, i.e. #T (cp) = cT (p) #