Is er een systematische manier om het aantal getallen tussen 10 en, zeg, 50 te bepalen, deelbaar door de cijfers van hun eenheden?

Antwoord:

Het aantal getallen tussen #10# en # 10k # deelbaar door hun eenheden cijfer kan worden weergegeven als

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

waar #fl (x) # vertegenwoordigt de vloelfunctie, mapping #X# tot het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan #X#.

Uitleg:

Dit komt overeen met het vragen hoeveel getallen #een# en # B # waar bestaat # 1 <= b <5 # en # 1 <= a <= 9 # en #een# verdeelt # 10b + een #

Let daar op #een# verdeelt # 10b + a # als en alleen als #een# verdeelt # 10b #. Het is dus voldoende om te vinden hoeveel hiervan # B #s bestaan voor elk #een#. Merk ook op dat #een# verdeelt # 10b # als en alleen als elke primaire factor van #een# is ook een primaire factor van # 10b # met de juiste multipliciteit.

Het enige dat overblijft is dan om er doorheen te gaan #een#.

#a = 1 #: Aangezien alle gehele getallen deelbaar zijn door #1#, alle vier de waarden voor # B # werk.

# A = 2 #: Zoals #10# is deelbaar door #2#, alle vier de waarden voor # B # werk.

# A = 3 #: Zoals #10# is niet deelbaar door #3#, we moeten hebben # B # deelbaar zijn door #3#, dat is, # B = 3 #.

# A = 4 #: Zoals #10# is deelbaar door #2#, we moeten hebben # B # als deelbaar door #2# om de juiste multipliciteit te hebben. Dus, # B = 2 # of B = # 4 #.

# A = 5 #: Zoals #10# is deelbaar door #5#, alle vier de waarden voor # B # werk.

# A = 6 #: Zoals #10# is deelbaar door #2#, we moeten hebben # B # als deelbaar door #3#, dat is, # B = 3 #.

# A = 7 #: Zoals #10# is niet deelbaar door #7#, we moeten hebben # B # als deelbaar door #7#. Maar #b <5 #, en dus geen waarde voor # B # werken.

# A = 8 #: Zoals #10# is deelbaar door #2#, we moeten hebben # B # als deelbaar door #4#, dat is, B = # 4 #

# A = 9: # Zoals #10# is niet deelbaar door #3#, we moeten hebben # B # als deelbaar door #3^2#. Maar #b <5 #, en dus geen waarde voor # B # werken.

Dit concludeert elke zaak, en dus, als we ze samenvoegen, krijgen we, zoals geconcludeerd in de vraag, #17# waarden. Deze methode kan echter eenvoudig worden uitgebreid naar grotere waarden. Bijvoorbeeld als we wilden vertrekken #10# naar #1000#, zouden we beperken # 1 <= b <100 #. Dan, kijkend naar # A = 6 #laten we zeggen dat we zouden hebben #2# verdeelt #10# en daarom #6# verdeelt # 10b # als en alleen als #3# verdeelt # B #. Er zijn #33# veelvouden van #3# in het bereik voor # B #, en daarom #33# nummers die eindigen op #6# en zijn deelbaar door #6# tussen #10# en #1000#.

In een kortere, eenvoudiger te berekenen notatie kunnen we met behulp van de bovenstaande observaties het aantal gehele getallen schrijven #10# en # 10k # zoals

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

waar #fl (x) # vertegenwoordigt de vloelfunctie, mapping #X# tot het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan #X#.