Een cirkel heeft een middelpunt dat op de lijn y = 7 / 2x +3 valt en doorloopt (1, 2) en (8, 1). Wat is de vergelijking van de cirkel?

Antwoord:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Uitleg:

Punt A #(1,2)# en punt B #(8,1)# moet dezelfde afstand (één straal) vanaf het midden van de cirkel zijn

Dit zijn leugens op de lijn van punten (L) die allemaal equi-distant zijn van A en B

de formule voor het berekenen van de afstand (d) tussen twee punten (van pythagorus) is # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

vervangen door wat we kennen voor punt A en een willekeurig punt op L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

vervangen door wat we weten voor punt B en een willekeurig punt op L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

daarom

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Vouw de haakjes uit

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Makkelijker maken

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

het middelpunt ligt op de lijn #y = 7x - 30 # (de verzameling punten op een afstand van A en B)

en op de lijn #y = 7x / 2 + 3 # (gegeven)

los waar deze twee lijnen elkaar kruisen om het midden van de cirkel te vinden

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

vervangen in #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Het midden van de cirkel is om #(66/7, 36)#

de vierkante straal van de cirkel kan nu als volgt worden berekend

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

De algemene formule voor een cirkel of straal # R # is

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # met het midden op h, k

We weten het nu # H #, # K # en # R ^ 2 # en kan ze in de algemene vergelijking voor de cirkel vervangen

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

breid de haakjes uit

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

en vereenvoudig

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #