Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Antwoord:

# {: ("Kritiek punt", "Conclusie"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "zadel"), ((-1,2), "zadel "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Uitleg:

De theorie om de extrema van te identificeren # Z = f (x, y) # is:

Los simultaan de kritische vergelijkingen op

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 # (d.w.z # Z_x = z_y = 0 #)
schatten #f_ (x x), f_ (yy) en f_ (xy) (= f_ (yx)) # op elk van deze kritieke punten. Vandaar evalueren # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # op elk van deze punten
Bepaal de aard van de extrema;

# {: (Delta> 0, "Er is minimum als" f_ (xx) <0), (, "en een maximum als" f_ (jj)> 0), (Delta <0, "er is een zadelpunt"), (Delta = 0, "Verdere analyse is noodzakelijk"):} #

Dus we hebben:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Laten we de eerste deelderivaten vinden:

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 2xy + 2j #

Dus onze kritische vergelijkingen zijn:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Van de tweede vergelijking hebben we:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # X = -1 # in de eerste vergelijking en we krijgen:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # Y = 0 # in de eerste vergelijking en we krijgen:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

En dat hebben we ook gedaan vier kritieke punten met coördinaten;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Dus laten we nu de tweede deelderivaten bekijken, zodat we de aard van de kritieke punten kunnen bepalen:

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x ^ 2) = 12x + 10 #

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y ^ 2) = 2x + 2 #

# (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y) = 2y (= (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y gedeeltelijke x)) #

En we moeten berekenen:

# Delta = (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x ^ 2) (gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke y ^ 2) - ((gedeeltelijke ^ 2f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y)) ^ 2 #

op elk kritiek punt. De tweede gedeeltelijke afgeleide waarden, #Delta#en conclusie zijn als volgt:

# {: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial x partial y), Delta, "Conclusie"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "zadel"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "zadel"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

We kunnen deze kritieke punten zien als we naar een 3D-plot kijken: