Laat RR de reeks reële getallen aanduiden. Zoek alle functies f: RR-> RR, die voldoet aan abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) voor alle x, y behoort tot RR.?

Laat RR de reeks reële getallen aanduiden. Zoek alle functies f: RR-> RR, die voldoet aan abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) voor alle x, y behoort tot RR.?
Anonim

Antwoord:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Uitleg:

Als #abs (f (x) f (y)) = 2abs (x-y) # dan #f (x) # is Lipschitz continu. Dus de functie #f (x) # is differentieerbaar. Dan volgen, #abs (f (x) f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # of

#abs ((f (x) f (y)) / (x-y)) = 2 # nu

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

zo

#f (x) = pm 2 x + C_0 #