De som van het kwadraat van twee opeenvolgende getallen is 390. Hoe formuleer je de kwadratische vergelijking om de twee getallen te vinden?

Antwoord:

Het kwadratische zou zijn # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Dit heeft geen geheeltallige oplossingen.

Evenmin is de som van vierkanten van twee gehele getallen gelijk aan #390#.

De som van de vierkanten van twee Gaussische gehele getallen kan 390 zijn.

Uitleg:

Als de kleinste van de twee cijfers is # N #, hoe groter het is # N + 1 # en de som van hun vierkanten is:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Dus de kwadratische vergelijking die we zouden willen oplossen is:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

of als je liever:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Merk echter op dat voor een geheel getal # N # de som # 2n ^ 2 + 2n + 1 # zal vreemd zijn, dus het is niet mogelijk voor #390# om de som te zijn van de vierkanten van twee opeenvolgende gehele getallen.

Kan het worden uitgedrukt als de som van vierkanten van twee willekeurige gehele getallen?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# niet vierkant

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# niet vierkant

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# niet vierkant

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# niet vierkant

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# niet vierkant

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# niet vierkant

Nee - als we verder gaan, zal de grote rest na aftrek van het vierkant niet een van degenen zijn die we al hebben gecontroleerd.

#kleur wit)()#

Complexe voetnoot

Is er een paar Gaussische gehele getallen waarvan de som het kwadraat is #390#?

Ja.

Stel dat we een Gaussiaans geheel getal kunnen vinden # M + ni #, het echte deel van wiens vierkant is #195#. Dan zou de som van het kwadraat van dat Gausse gehele getal en het kwadraat van zijn complexe conjugaat een oplossing zijn.

We vinden:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Dus we willen hele getallen vinden #m, n # zoals dat # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Goed:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Daarom vinden we:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Een andere oplossing, die voortkomt uit het feit dat elk oneven getal het verschil is in vierkanten van twee opeenvolgende getallen, is:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #