Vraag # 3cbbc

Antwoord:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

Uitleg:

Mijn oplossing is volgens Simpson's Rule, de Approximation Formula

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# H / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

Waar # H = (b-a) / n # en # B # de bovenlimiet en #een# de onderlimiet

en # N # elk even getal (hoe groter hoe beter)

ik kies

# N = 20 #

gegeven # B = pi / 4 # en # A = 0 #

# H = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

Dit is hoe te berekenen. Elk # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # zal een andere waarde gebruiken

voor # Y_0 #

# X_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#color (rood) (y_0 =,3333333333333) #

voor # 4 * y_1 #

# X_1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) #

#color (rood) (4 * y_1 = 1,3493618978936) #

voor # 2 * y_2 #

# X_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#color (red) (2 * y_2 =,68138682514816) #

voor # 4 * y_3 #

# X_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#color (rood) (4 * y_3 = 1,3738977832468) #

voor # 2 * y_4 #

# X_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#color (red) (2 * y_4 =,69151824096418) #

de rest zijn als volgt

#color (rood) (4 * y_5 = 1,3904648494964) #

#color (red) (2 * y_6 =,69821575035862) #

#color (rood) (4 * y_7 = 1,4011596185484) #

#color (red) (2 * y_8 =,70242415421322) #

#color (rood) (4 * y_9 = 1,4076741205702) #

#color (red) (2 * y_10 =,70489632049832) #

#color (rood) (4 * y_11 = 1,4113400771087) #

#color (red) (2 * y_12 =,7062173920012) #

#color (rood) (4 * y_13 = 1,4131786935757) #

#color (red) (2 * y_14 =,7068293103707) #

#color (rood) (4 * y_15 = 1,4139474301694) #

#color (red) (2 * y_16 =,70705252678954) #

#color (rood) (4 * y_17 = 1,414179352209) #

#color (red) (2 * y_18 =,70710341105534) #

#color (rood) (4 * y_19 = 1,4142131417552) #

#color (rood) (y_20 =,35355339059328) #

De som van al deze #color (rood) ("sum" = 20,98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "som" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20.98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = kleur (rood) (0.2746530521) #

Een alternatief is om eenvoudig een grafische rekenmachine te gebruiken wanneer ingewikkelde integratie ontstaat met een meer accurate waarde

#color (rood) (= 0,2746530722) #

God zegene … Ik hoop dat de uitleg nuttig is.

Antwoord:

# Int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #

Uitleg:

We gaan door met substitutie. Eerst zullen we een aantal algebra doorlopen om de integrand in een meer gewenste vorm te krijgen.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# Xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#XX (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Als we dat gebruiken, kunnen we de integraal splitsen:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Voor de eerste integraal, met behulp van de vervanging #u = 2 + sin (x) - cos (x) # geeft ons #du = (sin (x) + cos (x)) dx # en de grenzen van integratie veranderen van #0# en # Pi / 4 # naar #1# en #2#. Zo krijgen we

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4LN (2) #

Voor de tweede integraal, met behulp van de vervanging #u = 2 - sin (x) + cos (x) # geeft ons #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # en de grenzen van integratie veranderen van #0# en # Pi / 4 # naar #3# en #2#. Zo krijgen we

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (ln (3/2)) #

Het substitueren van de waarden voor de integralen geeft ons het gewenste resultaat:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4LN (2 * 3/2) #

# = Ln (3) / 4 #