Wat is int (cos (x)) ^ 4 dx?

Antwoord:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Uitleg:

Hoewel het in eerste instantie een erg vervelende integraal lijkt, kunnen we trig-identiteiten exploiteren om deze integraal te splitsen in een reeks eenvoudige integralen waarmee we meer vertrouwd zijn.

De identiteit die we zullen gebruiken is:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Dit laat ons onze vergelijking als zodanig manipuleren:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

We kunnen nu onze regel opnieuw toepassen om cos ^ 2 (2x) binnen het haaks:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Nu hebben we eigenlijk een vrij eenvoudig integratieprobleem, we kunnen de integraal verdelen in ons parenthetisch, zodat:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Elk van deze trig-integralen wordt afgehandeld met de eenvoudige regel die #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

Dus, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Laat zien dat cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Ik ben een beetje in de war als ik Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) maak, zal het negatief worden als cos (180 ° -theta) = - costheta in het tweede kwadrant. Hoe kan ik de vraag bewijzen?

Zie onder. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Wat is int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C We zullen een u-substitutie introduceren met u = cos (x). De afgeleide van u zal dan -sin (x) zijn, dus we verdelen die om te integreren met betrekking tot u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int cancel (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- cancel (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du Dit is de vertrouwde arctan integraal, wat betekent dat het resultaat is: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C We kunnen opnieuw substitueren u = cos (x) om het antwoord te krijgen in termen van x: -arctan (cos (x)) + C

Wat is de integraal van int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx We kunnen substitutie gebruiken om cos (x) te verwijderen. Dus laten we sin (x) als onze bron gebruiken. u = sin (x) Wat dan betekent dat we zullen krijgen, (du) / (dx) = cos (x) Finding dx zal geven, dx = 1 / cos (x) * du Nu vervangend de originele integraal door de substitutie, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du We kunnen cos (x) hier annuleren, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Nu instellen voor u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C