De hoogte van een driehoek neemt toe met een snelheid van 1,5 cm / min, terwijl het oppervlak van de driehoek met een snelheid van 5 vierkante cm / min toeneemt. Met welk tempo verandert de voet van de driehoek wanneer de hoogte 9 cm is en het gebied 81 vierkante cm is?

Dit is een probleem met de bijbehorende tarieven (van verandering).

De variabelen van interesse zijn

#een# = hoogte

#EEN# = gebied en, omdat het gebied van een driehoek is # A = 1 / 2ba #, wij hebben nodig

# B # = basis.

De opgegeven snelheden zijn in eenheden per minuut, dus de (onzichtbare) onafhankelijke variabele is # T # = tijd in minuten.

Wij zijn gegeven:

# (da) / dt = 3/2 # cm / min

# (dA) / dt = 5 # cm#''^2#/ min

En we worden gevraagd om te vinden # (Db) / dt # wanneer #a = 9 # cm en #A = 81 #cm#''^2#

# A = 1 / 2ba #, differentiëren ten opzichte van # T #, we krijgen:

# D / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

We hebben de productregel aan de rechterkant nodig.

# (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt #

We kregen elke waarde behalve # (Db) / dt # (die we proberen te vinden) en # B #. Gebruik de formule voor gebied en de gegeven waarden van #een# en #EEN#, dat kunnen we zien # B = 18 #cm.

Het vervangen van:

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2 #

Oplossen voor # (db) / dt = -17 / 9 #cm / min.

De basis neemt af naar #17/9# cm / min.

Het volume van een kubus neemt toe met een snelheid van 20 kubieke centimeter per seconde. Hoe snel, in vierkante centimeters per seconde, neemt het oppervlak van de kubus toe op het moment dat elke rand van de kubus 10 centimeter lang is?

Bedenk dat de rand van de kubus varieert met de tijd, dus dat is een functie van tijd l (t); zo:

Water lekt uit een omgekeerde conische tank met een snelheid van 10.000 cm3 / min, terwijl water met constante snelheid in de tank wordt gepompt. Als de tank een hoogte van 6 m heeft en de diameter bovenaan 4 m is en als het waterniveau stijgt met een snelheid van 20 cm / min wanneer de hoogte van het water 2 m is, hoe vindt u dan de snelheid waarmee het water in de tank wordt gepompt?

Laat V het volume water in de tank zijn, in cm ^ 3; laat h de diepte / hoogte van het water zijn, in cm; en laat r de straal zijn van het oppervlak van het water (bovenaan), in cm. Omdat de tank een omgekeerde kegel is, is ook de massa water. Aangezien de tank een hoogte heeft van 6 m en een straal bovenaan 2 m, impliceert dezelfde driehoek dat frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 zodat h = 3r. Het volume van de omgekeerde kegel van water is dan V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Onderscheid nu beide zijden met betrekking tot tijd t (in minuten) om frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} te krijgen (de kettin

Wat is de mate van verandering van de breedte (in ft / sec) wanneer de hoogte 10 voet is, als de hoogte op dat moment afneemt met een snelheid van 1 ft / sec. Een rechthoek heeft zowel een veranderende hoogte als een veranderende breedte , maar de hoogte en breedte veranderen zodat het gebied van de rechthoek altijd 60 vierkante voet is?

De snelheid van verandering van de breedte in de tijd (dW) / (dt) = 0.6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt ) = - 1 "ft / s" Dus (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / u (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Dus (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Dus wanneer h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0.6 "ft / s"