Wat is de vierkantswortel van 5?

De vierkantswortel van #5# kan vader niet worden vereenvoudigd dan het al is, dus hier is het # Sqrt5 # tot tien decimalen:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Antwoord:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # is een irrationeel nummer.

Uitleg:

Alle positieve getallen hebben normaal gesproken twee vierkantswortels, een positieve en een negatieve van dezelfde grootte. We geven de positieve (a.k.a. principal) vierkantswortel van aan # N # door #sqrt (n) #.

Een vierkantswortel van een getal # N # is een nummer #X# zoals dat # x ^ 2 = n #. Dus indien # x ^ 2 = n # dan ook # (- x) ^ 2 = n #.

Echter, populair gebruik is dat "de vierkantswortel" verwijst naar de positieve.

Stel dat we een positief getal hebben #X# die voldoet aan:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Vervolgens vermenigvuldigt u beide zijden met # (2 + x) # we krijgen:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Vervolgens aftrekken # 2x # van beide kanten krijgen we:

# X ^ 2 = 5 #

Dus we hebben gevonden:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Omdat deze doorlopende breuk niet eindigt, kunnen we dat zien #sqrt (5) # kan niet worden weergegeven als een terminerende breuk - d.w.z. een rationaal getal. Zo #sqrt (5) # is een irrationeel getal dat iets kleiner is dan #2 1/4 = 9/4#. Voor betere rationale benaderingen kunt u de voortgezette breuk na meer termen beëindigen.

Bijvoorbeeld:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Het uitpakken van deze voortgezette fracties kan een beetje vervelend zijn, daarom geef ik er in het algemeen de voorkeur aan om een andere methode te gebruiken, namelijk de beperkende verhouding van een geheel getalsequentie die recursief is gedefinieerd.

Definieer een reeks door:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

De eerste paar voorwaarden zijn:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

De verhouding tussen termen zal de neiging hebben # 2 + sqrt (5) #.

Dus we vinden:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #