Wat is (3 + i) ^ (1/3) gelijk in a + bi-vorm?

Antwoord:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Uitleg:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # waar #alpha = arctan (1/3) #

Zo

#root (3) (3 + i) = wortel (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Sinds # 3 + i # staat in K1, deze hoofdkubawortel van # 3 + i # staat ook in K1.

De twee andere kubuswortels van # 3 + i # kunnen worden uitgedrukt met behulp van de primitieve Complexe kubuswortel van eenheid #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #