Wat is -3sin (arcoos (2)) - cos (arc cos (3)) gelijk?

Antwoord:

Probleem onoplosbaar

Uitleg:

Er zijn geen bogen dat hun cosinus gelijk is aan 2 en 3.

Vanuit een analytisch oogpunt, de # Arccos # functie is alleen gedefinieerd op #-1,1# zo #arccos (2) # & #arccos (3) # bestaan niet.

Antwoord:

Echt # Cos # en #zonde# dit heeft geen oplossingen, maar als functies van complexe getallen vinden we:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arcoos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Uitleg:

Zoals Real gewaardeerde functies van Echte waarden van #X#, De functies #cos (x) # en #sin (x) # Neem alleen waarden in het bereik #-1, 1#, dus #arccos (2) # en #arccos (3) # zijn niet gedefinieerd.

Het is echter mogelijk om de definitie van deze functies uit te breiden tot Complexe functies #cos (z) # en #sin (z) # als volgt:

Beginnend met:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

we kunnen afleiden:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Vandaar dat we kunnen definiëren:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

voor elk complex nummer # Z #.

Het is mogelijk om meerdere waarden van te vinden # Z # die voldoen #cos (z) = 2 # of #cos (z) = 3 #, dus er kunnen enkele keuzes worden gemaakt om de hoofdwaarde te definiëren #arccos (2) # of #arccos (3) #.

Om geschikte kandidaten te vinden, op te lossen # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, enz.

Merk echter op dat de identiteit # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # geldt voor elk complex nummer # Z #, dus we kunnen afleiden:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Ik hoop dat het mogelijk is om de hoofdwaarde op zo'n manier te definiëren #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # liever dan # -sqrt (3) i #.

In elk geval, #cos (arco (3)) = 3 # per definitie.

Alles bij elkaar vinden we:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arcoos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #