Antwoord:
een)# X = 2 #
b) zie hieronder
Uitleg:
a) Aangezien de eerste drie voorwaarden zijn #sqrt x-1 #, 1 en #sqrt x + 1 #, de middelste termijn, 1, moet het geometrische gemiddelde van de andere twee zijn. Vandaar
# 1 ^ 2 = (sqrt x-1) (sqrt x +1) houdt in #
# 1 = x-1 houdt in x = 2 #
b)
De gemeenschappelijke ratio is dan #sqrt 2 + 1 #, en de eerste term is #sqrt 2-1 #.
Dus de vijfde term is
# (sqrt 2-1) keer (sqrt 2 + 1) ^ 4 = (sqrt 2 + 1) ^ 3 #
#qquad = (sqrt 2) ^ 3 + 3 (sqrt2) ^ 2 + 3 (sqrt2) + 1 #
# qquad = 2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1 #
#qquad = 7 + 5sqrt2 #
Antwoord:
Zie onder.
Uitleg:
Gezien dat, # Rarrsqrtx-1,1, sqrtx + 1 # zijn in # GP #.
Zo, #rarr (sqrtx-1) / 1 = 1 / (1 + sqrtx) #
#rarr (sqrtx-1) ^ 2 = 1 #
#rarr (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2 = 1 #
# Rarrx = 2 #
De eerste termijn # (A) = sqrtx-1 = sqrt2-1 #
De tweede termijn # (B) = 1 #
De gemeenschappelijke ratio # (R) = b / a = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #
De # N ^ (th) # termijn van geometrische reeks # (T_n) = a * r ^ (n-1) #
Zo, # T_5 = (sqrt2-1) * (sqrt2 + 1) ^ (5-1) #
# = (Sqrt2-1) (sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) ^ 3 #
# = (Sqrt2) ^ 2-1 ^ 2 (sqrt2) ^ 3 + 3 * (sqrt2 ^ 2) * 1 + 3 * sqrt2 * 1 ^ 2 + 1 ^ 3 #
# = (1/2) (2sqrt2 + 6 + 3sqrt2 + 1) = 7 + 5sqrt2 #
Antwoord:
# x = 2 en 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
Uitleg:
Voor ieder #3# opeenvolgende termen #abc# van een GP, wij hebben, # B ^ 2 = ac #.
Vandaar dat in ons geval # 1 ^ 2 = (sqrtx-1) (sqrtx + 1) = (sqrtx) ^ 2-1 ^ 2, #
# d.w.z. 1 = x-1, of, x = 2 #.
Met # X = 2 #, de # 1 ^ (st) en 2 ^ (nd) # voorwaarden van de GP onder
referentie zijn, # sqrtx-1 = sqrt2-1 en 1 #, resp.
Dus de gemeenschappelijke ratio # r = (2 ^ (nd) "term)" -:(1 ^ (st) "term)" #, # = 1 / (sqrt2-1) = sqrt2 + 1 #.
#:. 4 ^ (th) "term = r (" 3 ^ (rd) "term) = (sqrt2 + 1) (sqrtx + 1) #, # = (Sqrt2 + 1) (sqrt2 + 1) #, # = 2 + 2sqrt2 + 1 #, # = 3 + 2sqrt2 #.
Verder, # (5 ^ (th) "term) = r (" 4 ^ (th) term) #, # = (Sqrt2 + 1) (3 + 2sqrt2) #,
# = 3sqrt2 + 3 + 2sqrt2 * sqrt2 + 2sqrt2 #.
# rArr 5 ^ (th) "term" = 7 + 5sqrt2 #.
