Hoe schrijf je de gedeeltelijke fractie-decompositie van de rationele expressie (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Antwoord:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) 3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Uitleg:

Om de gegeven uitdrukking in gedeeltelijke breuken te schrijven, denken we na over het factoriseren van de noemer.

Laten we de noemer ontbinden

#color (blauw) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Kleur (blauw) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Kleur (blauw) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

De identiteit van polynomen toepassen:

#color (oranje) (a ^ 2 B ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

wij hebben:

#color (blauw) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Kleur (blauw) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Kleur (blauw) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Laten we de rationele expressie ontbinden door te zoeken # A, B en C #

#color (bruin) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = kleur (groen) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x 2)) #

#color (bruin) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Kleur (bruin) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2 x-2x 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3 x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Kleur (bruin) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = Kleur (bruin) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = kleur (groen) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Dan, #rArrcolor (bruin) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = kleur (groen) (3x) #

We hebben een systeem van drie vergelijkingen met drie onbekenden # A, B en C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # EQ2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Beginnen met het oplossen van het systeem

EQ2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (rood) (B = -3-3C) #

Het substitueren # B # in eq1 hebben we:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (rood) (A = 3 + 2C) #

Het substitueren #B en C #in eq3 hebben we:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (kleur (rood) (3 + 2C)) - 2 ((rood) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# Rarr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# Rarr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (rood) (C = -1/2) #

#color (rood) (B = -3-3C) = - 3-3color (rood) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (rood) (B = -3/2 #

#color (rood) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (1/2) = 1/3 #

#color (rood) (A = 2) #

Laten we de waarden vervangen:

#color (groen) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = kleur (bruin) (kleur (rood) 2 / (x-2) + (kleur (rood) (- 3 / 2)) / (x-1) + (rood) ((- 02/01)) / (x + 1)) #

daarom

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) 3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #