Wat is de geschatte waarde van sqrt {107}?

Antwoord:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Uitleg:

Let daar op:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# is precies #1/3# van de weg ertussen #100# en #121#.

Dat is:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Dus we kunnen lineair interpoleren tussen #10# en #11# vinden:

#sqrt (107) ~~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(Naar lineair interpoleren in dit voorbeeld is het schatten van de curve van de parabool van de grafiek van # Y = x ^ 2 # tussen #(10, 100)# en #(11, 121)# als een rechte lijn)

Bonus

Voor meer nauwkeurigheid kunnen we gebruiken:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) #

putting # A = 31/3 # wij willen:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Dan:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …))) #

Dus als eerste stap van verbetering:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Als we meer nauwkeurigheid willen, gebruik dan meer termen:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #