Kan de vergelijking worden opgelost?

Antwoord:

De vergelijking heeft wel een oplossing, met # a = b 0, theta = kpi, k in ZZ #.

Uitleg:

Merk allereerst op # Sec ^ 2 (theta) = 1 / cos ^ 2 (theta) 1 # voor iedereen #theta in RR #.

Overweeg dan de rechterkant. Voor de vergelijking om een oplossing te hebben, moeten we hebben

# (4AB) / (a + b) ^ 2> = 1 #

# 4ab> = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 #

{sinds # (A + b) ^ 2 0 # voor alle echte # A, b #}

# 0 a ^ 2-2ab + b ^ 2 #

# 0 (a-b) ^ 2 #

De enige oplossing is wanneer # A = b #.

Vervanging # A = b # in de originele vergelijking:

# Sec ^ 2 (theta) = (4a ^ 2) / (2a) ^ 2 = 1 #

# 1 / cos ^ 2 (theta) = 1 #

#cos (theta) = ± 1 #

# theta = kpi, k in ZZ #

Dus, de vergelijking heeft wel een oplossing, met # a = b 0, theta = kpi, k in ZZ #.

(Als # A = b = 0 #, dan zou er een opsplitsing zijn in de oorspronkelijke vergelijking.)