Het getal 90 ^ 9 heeft 1900 verschillende positieve integrale delers. Hoeveel van deze zijn vierkanten van gehele getallen?

Antwoord:

Wow - Ik mag mijn eigen vraag beantwoorden.

Uitleg:

Het blijkt dat de aanpak een combinatie is van combinatoriek en getaltheorie. We beginnen met factoring #90^9# in zijn belangrijkste factoren:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

De truc hier is om erachter te komen hoe je vierkanten van gehele getallen kunt vinden, wat relatief eenvoudig is. Vierkanten van gehele getallen kunnen op verschillende manieren worden gegenereerd op basis van deze factorisatie:

#5^9*3^18*2^9#

Dat kunnen we zien #5^0#, bijvoorbeeld, is een vierkant van een geheel getal en een deler van #90^9#; hetzelfde, #5^2#, #5^4#,#5^6#, en #5^8# ze voldoen ook allemaal aan deze voorwaarden. Daarom hebben we 5 mogelijke manieren om een deler van te configureren #90^9# dat is een vierkant van een geheel getal, met alleen 5s.

Dezelfde redenering is van toepassing op #3^18# en #2^9#. Elke even kracht van deze prime-factoren - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 totaal) voor 3 en 0, 2, 4, 6, 8 (5 totaal) voor 2 - is een perfect vierkant dat een deler is van #90^9#. Voorts elke combinatie van deze prime delers die zelfs krachten hebben, voldoen ook aan de voorwaarden. Bijvoorbeeld, #(2^2*5^2)^2# is een vierkant van een geheel getal, zoals het is #(3^8*2^4)^2#; en beide, bestaande uit delers van #90^9#, zijn ook delers van #90^9#.

Dus het gewenste aantal vierkanten van gehele getallen die delers zijn van #90^9# is gegeven door #5*10*5#, wat de vermenigvuldiging is van de mogelijke keuzes voor elke prime-factor (5 voor 5, 10 voor 3, en 5 voor 2). Dit is gelijk aan #250#, wat het juiste antwoord is.