Hoe vind je de limiet van (arctan (x)) / (5x) als x naar 0 gaat?

Antwoord:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Uitleg:

Om deze limiet te vinden, let op dat zowel de teller als de noemer worden gebruikt #0# zoals #X# benaderingen #0#. Dit betekent dat we een onbepaalde vorm krijgen, zodat we de regel van L'Hospital kunnen toepassen.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Door de regel van L'Hospital toe te passen, nemen we de afgeleide van de teller en de noemer, die ons geeft

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

We kunnen dit ook controleren door de functie in een grafiek weer te geven, om een idee te krijgen van wat #X# benaderingen.

Grafiek van #arctan x / (5x) #:

grafiek {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Antwoord:

Een langere benadering met trig wordt hieronder uitgelegd.

Uitleg:

Voor het geval je je niet op je gemak voelt met L'Hopital's Rule, of er nog niet aan bent blootgesteld, is een andere manier om het probleem op te lossen het gebruik van de definitie van de arctangent-functie.

Bedenk dat als # Tantheta = x #, dan # Theta = arctanx #; dit betekent in wezen dat arctangens het tegenovergestelde is van raaklijn. Met behulp van deze info kunnen we een driehoek construeren waar # Tantheta = x # en # Theta = arctanx #:

Uit het diagram is het duidelijk dat # Tantheta = x / 1 x = #. Sinds # Tantheta = sintheta / costheta #, we kunnen dit uitdrukken als:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Gebruik dit plus het feit dat # Theta = arctanx #, we kunnen vervangingen in de limiet maken:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Dit komt overeen met:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

We weten dat #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; zo #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # of #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. En sindsdien # Cos0 = 1 #, de limiet evalueert naar:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#