Wat is de integraal van sqrt (9-x ^ 2)?

Telkens wanneer ik dit soort functies zie, erken ik (door veel te oefenen) dat je hier een speciale vervanging moet gebruiken:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Dit lijkt misschien een rare vervanging, maar je zult zien waarom we dit doen.

#dx = 3cos (u) du #

Vervang alles in de integraal:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

We kunnen de 3 uit de integraal halen:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Je kunt de 9 eruit halen:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

We kennen de identiteit: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Als we oplossen # Cosx #, we krijgen:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Dit is precies wat we in de integraal zien, dus we kunnen het vervangen:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Je kent deze misschien als een basis antiderivatief, maar als je dat niet doet, kun je het zo uitvogelen:

We gebruiken de identiteit: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (je kunt dit op substitutie uitwerken)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Nu, alles wat we moeten doen is zetten # U # in de functie. Laten we terugkijken naar hoe we het hebben gedefinieerd:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = zonde (u) #

Te krijgen # U # hiervan moet je de omgekeerde functie van nemen #zonde# aan beide kanten is dit # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Nu moeten we het in onze oplossing invoegen:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Dit is de laatste oplossing.