Wat zijn de extrema van f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 op [-oo, oo]?

Antwoord:

#f (x) # heeft een minimum van # X = 2 #

Uitleg:

Houd er rekening mee dat dit een opwaarts gerichte parabool is, wat betekent dat we zonder verdere berekening kunnen weten dat er geen maxima en een enkel minimum aan de top zullen zijn. Het voltooien van het plein zou ons dat laten zien #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, waarbij de vertex, en dus het enige minimum, wordt gegeven #x = 2 #. Laten we eens kijken hoe dit zou gebeuren met calculus.

Elke extrema zal plaatsvinden op een kritiek punt of op een eindpunt van het gegeven interval. Als ons gegeven interval van # (- oo, oo) # is open, kunnen we de mogelijkheid van eindpunten negeren en daarom zullen we eerst de kritieke punten van de functie identificeren, dat wil zeggen, het punt waarop de afgeleide van de functie is #0# of bestaat niet.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Dit gelijk instellen op #0#, we vinden een kritiek punt op # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Nu kunnen we testen of het een extremum is (en welk type) door enkele waarden te controleren # F # rond dat punt, of door de tweede afgeleide test te gebruiken. Laten we het laatste gebruiken.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Zoals #f '' (2) = 6> 0 #, de tweede afgeleide test vertelt ons dat #f (x) # heeft een lokaal minimum op # X = 2 #

Dus, met behulp van #f '(x) # en #f '' (x) #, we vinden dat #f (x) # heeft een minimum van # X = 2 #, passend bij het resultaat dat we met algebra vonden.