De minimale waarde van f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 is?

#f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

# => F (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3j) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => F (x, y) = (x-3j) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

De minimale waarde van elke gekwadrateerde uitdrukking moet nul zijn.

Zo # F (x, y) _ "min" = - 3 #

Antwoord:

Er is een relatief minimum op #(3/2,1/2)# en #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Uitleg:

Ik denk dat we de gedeeltelijke derivaten moeten berekenen.

Hier, #f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

De eerste deelderivaten zijn

# (Delf) / (delx) = 2x-6Y #

# (Delf) / (dely) = 26Y-6x-4 #

De kritieke punten zijn

# {(2x-6j = 0), (26Y-6x-4 = 0)} #

#<=>#, # {(3y = x), (26Y-6 * 3y-4 = 0)} #

#<=>#, # {(3y = x), (8j = 4):} #

#<=>#, # {(X = 3/2), (y = 1/2):} #

De tweede deelderivaten zijn

# (Del ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2 #

# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 26 #

# (Del ^ 2F) / (delxdely) = - 6 #

# (Del ^ 2F) / (delydelx) = - 6 #

De determinant van de Hessische matrix is

#D (x, y) = | ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (verw ^ 2f) / (delxdely)) ((del ^ 2f) / (dely ^ 2), (verw ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Zoals #D (x, y)> 0 #

en

# (Del ^ 2F) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Er is een relatief minimum op #(3/2,1/2)#

En

#f (3 / 2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 * 0.5 ^ 2-6 * 1,5 * * 0,5-4 0,5-2 = -3 #