Antwoord:
# X = 9 #
Uitleg:
We zijn op zoek naar het grootste gehele getal waarbij:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Er zijn een paar manieren om dit te doen. Een daarvan is om gewoon hele getallen uit te proberen. Laten we als baseline proberen # X = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
en dat weten we dus #X# is minimaal 0, dus het is niet nodig om negatieve gehele getallen te testen.
We kunnen zien dat de grootste kracht links 4. is. Laten we het proberen # X = 4 # en zie wat er gebeurt:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Ik zal de rest van de wiskunde afhouden - het is duidelijk dat de linkerkant een aanzienlijk groter aantal is. Dus laten we het proberen # X = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
zo # X = 10 # is te groot. Ik denk dat ons antwoord 9. zal zijn. Laten we eens kijken:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
en opnieuw is duidelijk dat de linkerkant groter is dan de rechterkant. Dus ons laatste antwoord is # X = 9 #.
Wat zijn andere manieren om dit te vinden? We hadden kunnen proberen te tekenen. Als we dit zo uitdrukken # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, we krijgen een grafiek die er als volgt uitziet:
grafiek {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
en we kunnen zien dat het antwoord pieken rond de # X = 8.5 # mark, is nog steeds positief in # X = 9 # en wordt negatief voor het bereiken # X = 10 # - maken # X = 9 # het grootste gehele getal.
Hoe kunnen we dit anders doen? We kunnen oplossen # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebraïsch.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Om de wiskunde gemakkelijker te maken, ga ik dat eerst opmerken als de waarden van #X# verhogen, worden de termen aan de linkerkant irrelevant. Eerst zal de 9 in belang afnemen totdat het volledig irrelevant is, en hetzelfde geldt voor de # 30x ^ 2 # termijn. Dus dit vermindert tot:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
en ik denk dat ik er een puinhoop van maak! algebra is geen gemakkelijke manier om dit probleem te benaderen!
