Wat is de lengte van de ladder als een ladder met lengte L horizontaal wordt gedragen om een hoek van een hal van 3 voet breed naar een hal van 4 voet breed?

Beschouw een lijnsegment dat loopt vanaf # (X, 0) # naar # (0, y) # door de binnenhoek bij #(4,3)#.

De minimale lengte van dit lijnsegment is de maximale lengte van de ladder die om deze hoek kan worden gemanoeuvreerd.

Stel dat maar voor #X# is voorbij #(4,0)# door een of andere schaalfactor, # S #, van 4, dus

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

let op voor de # (1 + s) # later verschijnen als een waarde die ergens uit moet worden gefilterd.

Bij vergelijkbare driehoeken kunnen we dat zien

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Volgens de stelling van Pythagoras kunnen we het kwadraat van de lengte van het lijnsegment weergeven als een functie # S #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normaal zouden we de afgeleide van L (s) nemen om het minimum te vinden, maar in dit geval is het gemakkelijker om de afgeleide van # L ^ 2 (s) #.

(Merk op dat als #L (s) # is een minimum zoals # S = s_0 #, dan # L ^ 2 (s) # zal ook een minimum zijn van # S = s_0 #.)

De eerste afgeleide van nemen # L ^ 2 (s) # en het instellen op nul, krijgen we:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Vermenigvuldigen met # S ^ 3 # en vervolgens uitfactoren # 2 (1 + s) #

laat ons toe om op te lossen # S #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Sluit deze waarde terug in de vergelijking voor # L ^ 2 (s) # en met de vierkantswortel (ik gebruikte een spreadsheet), krijgen we

de maximale ladderlengte # = 9.87 feet # (Ong.)