Wat staat voor een momentane snelheid in een grafiek?

Op voorwaarde dat de grafiek van de afstand is als een functie van de tijd, vertegenwoordigt de helling van de lijn die de functie op een bepaald punt raakt de momentane snelheid op dat punt.

Om een idee van deze helling te krijgen, moet men gebruiken limieten. Stel bijvoorbeeld dat iemand een afstandsfunctie krijgt toegewezen #x = f (t) #en men wenst de instantane snelheid of snelheid van verandering van afstand op het punt te vinden # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, het helpt om eerst een ander nabijgelegen punt te onderzoeken, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, waar #een# is een willekeurig kleine constante. De helling van de secant lijn op deze punten loopt de grafiek door:

# F (t_0 + a) -f (t_0) / a #

Zoals # P_1 # benaderingen # P_0 # (die zal optreden als onze #een# dalingen), onze hierboven #differentiequotiënt# zal een limiet naderen, hier aangewezen # L #, dat is de helling van de raaklijn op het gegeven punt. Op dat moment kan een punt-hellingvergelijking met onze bovenstaande punten een meer exacte vergelijking opleveren.

Als er iemand bekend is met differentiatie, en de functie is zowel continu als differentieerbaar op de opgegeven waarde van # T #, dan kunnen we gewoon de functie differentiëren. Gegeven dat de meeste afstandsfuncties zijn polynomiale functies, van de vorm #x = f (t) = bij ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # deze kunnen worden gedifferentieerd met behulp van de machtsregel waarin staat dat voor een functie #f (t) = bij ^ n, (df) / dt # (of #f '(t) #) = # (N) en ^ (n-1) #.

Dus voor onze algemene polynomiale functie hierboven, #x '= f' (t) = (n) op ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Merk op dat sinds #t = t ^ 1 # (aangezien elk getal dat wordt verhoogd tot de eerste macht gelijk is aan zichzelf), vermindert het verminderen van het vermogen met 1 ons # t ^ 0 = 1 #Daarom is de laatste term eenvoudig # Y #. Merk ook op dat onze # Z # termijn, zijnde een constante, veranderde niet ten opzichte van # T # en dus werd weggegooid in differentiatie).

Deze #f '(t) # is de afgeleide van de afstandsfunctie met betrekking tot tijd; dus meet het de snelheid van verandering van afstand ten opzichte van tijd, wat eenvoudigweg de snelheid is.