Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Wij hebben:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

Stap 2 - Identificeer kritieke punten

Een kritiek punt treedt op bij een gelijktijdige oplossing van

# f_x = f_y = 0 iff (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 #

d.w.z. wanneer:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # gelijktijdig

Van waaruit we kunnen vaststellen:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

Daarom eisen we dat:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

Dan hebben we twee oplossingen (oneindig vlak):

#:. x = + - y #

En dus concluderen we dat er oneindig veel kritieke punten zijn over de volledige lengte van de kruising van de curve en de twee vlakken #x = + - y #

Stap 3 - Classificeer de kritieke punten

Om de kritieke punten te classificeren voeren we een test uit die vergelijkbaar is met die van één variabele calculus met behulp van de tweede partiële afgeleiden en de Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (jjj)) | = | ((gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke x ^ 2), (gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y)), ((gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke y gedeeltelijke x), (gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke y ^ 2)) | #

# = f_ (x x) f_ (jj) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dan afhankelijk van de waarde van #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Er is een maximum als" f_ (xx) <0), (, "en een minimum als" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "er is een zadelpunt"), (Delta = 0, "Verdere analyse is noodzakelijk"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

We moeten het teken van overwegen #Delta#en dat merken we # e ^ z gt 0 AA z in RR #, dus alleen het teken van:

# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

Dus, afhankelijk van het bord #Delta'# we hebben een oneindig aantal maxima en zadelpunten langs de vlakken = #X + - y #

Hier is een grafiek van de functie

En hier is een plot van de functie inclusief de vliegtuigen = #X + - y #