Laat M een matrix en u en v vectoren zijn: M = [(a, b), (c, d)], v = [(x), (y)], u = [(w), (z)] . (a) Stel een definitie voor u + v. (b) Laat zien dat uw definitie gehoorzaamt aan Mv + Mu = M (u + v)?

Antwoord:

Definitie van toevoeging van vectoren, vermenigvuldiging van een matrix door een vector en bewijs van verdelingsrecht zijn hieronder.

Uitleg:

Voor twee vectoren #V = (x) (y) # en #u = (w), (z) #

we definiëren een bewerking van optellen als # U + v = (x + w), (y + z) #

Vermenigvuldiging van een matrix # M = (a, b), (c, d) # door vector #V = (x) (y) # is gedefinieerd als # M * v = (a, b), (c, d) * (x), (y) = (ax + by), (cx + dy) #

Analoog, vermenigvuldiging van een matrix # M = (a, b), (c, d) # door vector #u = (w), (z) # is gedefinieerd als # M * u = (a, b), (c, d) * (w), (z) = (aw + bz), (cw + dz) #

Laten we de distributieve wet van een dergelijke definitie eens bekijken:

# M * v + M * u = (ax + by), (cx + dy) + (aw + bz), (cw + dz) = #

# = (Ax + by + aw + bz), (cx + dy + cw + dz) = #

# = (A (x + w) + b (y + z)), (c (x + w) + d (y + z))) = #

# = (a, b), (c, d) * (x + w), (y + z) = M * (v + u) #

Einde bewijs.