Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Bereken de verwachtingswaarde op elk later tijdstip t = t_1, zijn phi_n energie-eigenfuncties van de oneindige potentiaalput. Schrijft u het antwoord in termen van E_0?

Wel, ik snap het # 14 / 5E_1 #… en gezien uw gekozen systeem, kan het niet opnieuw worden uitgedrukt in termen van # E_0 #.

Er zijn zoveel kwantummechanische regels gebroken in deze vraag …

• De # Phi_0 #, omdat we oneindige potentiële putoplossingen gebruiken, verdwijnt automatisch … #n = 0 #, dus #sin (0) = 0 #.

En voor de context hadden we het laten #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

• Het is onmogelijk om het antwoord te schrijven in termen van # E_0 # omdat #n = 0 # bestaat NIET voor het oneindige potentieel goed. Tenzij je wilt dat het deeltje dat doet verdwijnen , Ik moet het in termen van schrijven # É_ñ #, #n = 1, 2, 3,… #…

• De energie is een constante van de beweging, d.w.z. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Dus nu…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

De verwachtingswaarde is een constante van de beweging, dus het maakt ons niet uit op welk moment # T_1 # we kiezen. Anders is dit geen conservatief systeem …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # Voor sommigen #n = 1, 2, 3,… #

In feite weten we al wat het zou moeten zijn, aangezien de Hamiltoniaan voor de eendimensionale oneindige potentiële bron tijd is - ONAFHANKELIJK …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

en de # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # ga naar 1 in de integraal:

#color (blauw) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

waar we hebben laten #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Nogmaals, alle fasefactoren worden geannuleerd en we merken op dat de niet-diagonale termen naar nul gaan vanwege de orthogonaliteit van de # Phi_n #.

De noemer is de norm van # Psi #, dat is

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

daarom # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Dat geeft:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) cancel (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) cancel (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) cancel (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) te annuleren (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

De derivaten toepassen:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Constanten zweven uit:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

En deze integraal staat om fysieke redenen bekend om halverwege te zijn #0# en # L #, onafhankelijk van # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = kleur (blauw) (14/5 E_1) #

Antwoord:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Uitleg:

Elke stationaire toestand die overeenkomt met de eigenwaarde van de energie # É_ñ # pakt een fasefactor op #e ^ {- iE_n t} # op tijd evolutie. De gegeven staat is niet een stationaire toestand - omdat het de superpositie is van energie-eigentoestanden die tot verschillende eigenwaarden behoren. Dientengevolge zal het op een niet-triviale manier in de tijd evolueren. De Schroedinger-vergelijking die de tijdevolutie van toestanden regelt, is echter lineair - zodat elke component-energie-eigenfunctie onafhankelijk evolueert - en zijn eigen fase-factor oppikt.

Dus de startgolffunctie

# psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

evolueert in de tijd # T # naar

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Dus de energiewaarderingswaarde op het moment # T # is gegeven door

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) hoed {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) hat {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) keer (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

waar we het feit dat het #phi_i (x) # zijn energie eigenfuncties, dus dat #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Dit geeft ons nog steeds negen termen. De uiteindelijke berekening wordt echter veel vereenvoudigd door het feit dat de energie-eigenfuncties orthogenormaliseerd zijn, d.w.z. ze gehoorzamen

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Dit betekent dat van de negen integralen er slechts drie overleven en we krijgen

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Met behulp van het standaard resultaat dat #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, wij hebben # E_1 = 4E_0 # en # E_2 = 9E_0 # voor een oneindige potentiaalput (je bent misschien meer gewend aan een uitdrukking die zegt #E_n propto n ^ 2 # voor een oneindige put - maar hierin is de grondtoestand geëtiketteerd # E_1 # - hier labelen we het # E_0 # - vandaar de verandering). Dus

# <E> = (1/6 keer 1 + 1/3 keer 4 + 1/2 keer 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Notitie:

1. Terwijl individuele energie eigenfuncties in de tijd evolueren door het oppikken van een fase factor, de algehele golffunctie doet niet verschillen van de eerste door slechts een fasefactor - dit is waarom het niet langer een stationaire toestand is.
2. De betrokken integralen waren zoals

   # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} keer int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

   en deze zien eruit alsof ze tijdsafhankelijk zijn. De enige integralen die overleefd zijn, zijn echter degene voor # I = j # - en dit zijn precies degenen waarvoor de tijdafhankelijkheid annuleert.

3. De laatste resultaten passen bij het feit dat #hat {H} # is geconserveerd - ook al is de staat geen stationaire toestand - de energiewaarderingswaarde is onafhankelijk van de tijd.
4. De oorspronkelijke golffunctie is sindsdien al genormaliseerd # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # en deze normalisatie wordt behouden in de tijdevolutie.
5. We hadden heel wat werk kunnen verzachten als we gebruik hadden gemaakt van een standaard kwantummechanisch resultaat - als een golffunctie wordt uitgebreid in de vorm #psi = sum_n c_n phi_n # waar de # Phi_n # zijn eigenfuncties van een Hermitische operator #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, dan # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, op voorwaarde uiteraard dat de toestanden correct zijn genormaliseerd.