Stel dat z = x + yi, waarbij x en y reële getallen zijn. Als (iz-1) / (z-i) een reëel getal is, laat dat zien dat wanneer (x, y) niet gelijk is aan (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Antwoord:

Zie onder,

Zoals # Z = x + iy #

# (Iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (x + i (y-1)) #

= # (IX (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (x-i (y-1)) / (x-i (y-1)) #

= # ((IX (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (Ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 01/02)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + (x ^ 2 + y ^ 01/02)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 01/02)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Zoals # (Iz-1) / (z-i) # is echt

# (X ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # en # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Nu als # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # is de som van twee vierkanten, het kan alleen nul zijn wanneer # X = 0 # en # Y = 1 # d.w.z.

als # (X, y) # is niet #(0,1)#, # X ^ 2 + y ^ 2 = 1 #