Hoe gebruik je de eerste afgeleide test om de lokale extrema y = sin x cos x te bepalen?

Antwoord:

De extrema voor # Y = sin (x) cos (x) # zijn

# X = pi / 4 + NPI / 2 #

met # N # een relatief integer

Uitleg:

Worden #f (x) # de functie die de variatie van vertegenwoordigt # Y # met repsect naar #X#.

Worden #f '(x) # de afgeleide van #f (x) #.

#fa)# is de helling van de #f (x) # curve op de # X = a # punt.

Wanneer de helling positief is, neemt de curve toe.

Als de helling negatief is, neemt de curve af.

Wanneer de helling nul is, blijft de curve op dezelfde waarde.

Wanneer de curve een extremum bereikt, stopt deze met stijgen / dalen en begint te verminderen / stijgen. Met andere woorden, de helling zal van positief naar negatief gaan - of negatief naar positief - door de nulwaarde.

Daarom moet u, als u op zoek bent naar de extrema van een functie, op zoek naar de nulwaarden van zijn afgeleide.

N.B. Er is een situatie waarin de afgeleide null is maar de curve geen extremum bereikt: het wordt een buigpunt genoemd. de curve stopt tijdelijk met verhogen / verlagen en hervat vervolgens de toename / afname. Controleer dus ook of het bord van de helling verandert rond zijn nulwaarde.

Voorbeeld: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (DCO (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (sin (x)) = cos ^ 2 (x) ^ 2 -sin (x) #

Nu hebben we de formule voor #f '(x) #, we zullen zoeken naar de nulwaarden ervan:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

De oplossingen zijn # Pi / 4 + NPI / 2 # met # N # een relatief integer.

Antwoord:

Zelfs als we van plan zijn om de eerste afgeleide test te gebruiken, is het de moeite waard om dat waar te nemen #y = 1/2 sin (2x) #.

Uitleg:

Als we die waarneming hebben gemaakt, hebben we niet echt calculus nodig om de extrema te vinden.

We kunnen vertrouwen op onze kennis van trigonometrie en de grafieken van sinusoïdale functies

De maximale waarde (van 1/2) treedt op wanneer # 2x = pi / 2 + 2pik # of wanneer #x = pi / 4 + pik # voor # K # een geheel getal.

Het minimum treedt op om #x = 3pi / 4 + pik # voor # K # een geheel getal.

We kunnen het derivaat gebruiken, maar we hebben het niet echt nodig.

Het gebruik van het derivaat

Herschreven # Y #, dat kunnen we snel zien #y '= cos (2x) #

Dus de kritische cijfers voor # Y # zijn # 2x = pi / 2 + 2pik # en # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (wanneer de cosinus is #0#) of

# x = pi / 4 + pik # en # x = (3pi) / 4 + pik #

Controle van het teken van #y '= cos (2x) #, we zullen maximale waarden vinden bij de eerste set van kritische getallen en minimumwaarden bij de tweede.