Wanneer gebruik je de formule van Heron om een gebied te vinden?

Je kunt het gebruiken wanneer je de lengte van alle drie zijden van een driehoek kent.

Ik hoop dat dit nuttig was.

Antwoord:

Heron's Formula is bijna altijd de verkeerde formule om te gebruiken; probeer de stelling van Archimedes voor een driehoek met gebied #EEN# en zijden #abc#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # waar # S = 1/2 (a + b + c) #

Deze laatste is een versluierde reiger.

Uitleg:

Held van Alexandrië schreef in de eerste eeuw na Christus. Waarom we studenten blijven folteren met zijn resultaat als er veel mooiere moderne equivalenten zijn, heb ik geen idee.

De formule van Heron voor het gebied #EEN# van een driehoek met zijden #abc# is

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # waar # S = 1/2 (a + b + c) # is de semiperimeter.

Er is geen twijfel over mogelijk dat deze formule geweldig is. Maar het is lastig om te gebruiken vanwege de breuk en, als we uitgaan van coördinaten, de vier vierkantswortels.

Laten we gewoon de wiskunde doen. We corrigeren en elimineren # S # die meestal dient om een te verbergen #16# en een belangrijke factorisatie. Misschien wil je het eerst zelf proberen.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Dat is al veel beter dan de vorm van Heron. We slaan de breuk tot het einde en er is niet langer vragen over de betekenis van de semiperimeter.

Het gedegenereerde geval is veelzeggend. Als een van die factoren met een minteken nul is, tellen twee zijden precies hetzelfde als aan de andere kant. Dat zijn afstanden tussen drie collineaire punten, de gedegenereerde driehoek en we krijgen een nulgebied. Klinkt logisch.

De # A + b + c # factor is interessant. Wat het ons vertelt is dat deze formule nog steeds werkt als we verplaatsingen, getekende lengtes gebruiken in plaats van allemaal positief.

De formule is nog steeds onhandig om bepaalde coördinaten te gebruiken. Laten we het vermenigvuldigen; misschien wilt u het zelf proberen;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Die vorm hangt alleen af van de vierkanten van de lengtes. Het is duidelijk volledig symmetrisch. We kunnen nu verder gaan dan Heron en zeggen of het vierkante lengtes zijn rationeel, zo is het vierkante gebied.

Maar we kunnen het beter doen als we het opmerken

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

aftrekken,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Dat is de mooiste vorm.

Er is een asymmetrisch ogende vorm die meestal het nuttigst is. We noteren

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Dit toevoegen aan

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Dat is de meest bruikbare vorm. Er zijn echt drie manieren om het te schrijven en van kant te wisselen.

Collectief worden deze de Stelling van Archimedes genoemd, uit de Rationale trigonometrie van NJ Wildberger.

Als je 2D-coördinaten krijgt, is de schoenveterformule vaak het snelste pad naar het gebied, maar dat bewaar ik voor andere berichten.