Wat is het antiderivaat van 1 / sinx?

Antwoord:

Het is # -ln abs (cscx + wieg x) #

Uitleg:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

De teller is het tegenovergestelde (het 'negatieve') van de afgeleide van de denomoinator.

Het antiderivaat is dus minus de natuurlijke logaritme van de noemer.

# -ln abs (cscx + wieg x) #.

(Als je de techniek van substitutie hebt geleerd, kunnen we gebruiken #u = cscx + wieg x #, dus #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. De uitdrukking wordt # -1 / u du #.)

U kunt dit antwoord verifiëren door te differentiëren.

Een andere benadering ervan

# Int1 / sinxdx # #=#

# Intsinx / sin ^ 2xdx #

# Intsinx / (1-cos ^ 2 x) dx #

Plaatsvervanger

# Cosx = u #

# -Sinxdx = du #

# Sinxdx = -du #

#=# # -Int1 / (1-u ^ 2) du #

• # 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Wij hebben nodig #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + B = Bu-1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

daarom # -Int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -Int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2INT (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2INT (((u + 1)) / (u + 1) - ((u-1)) / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (C, C ') ##in## RR #