Wat is de eenvoudigste radicale vorm van sqrt115?

Antwoord:

Er is geen eenvoudiger vorm

Uitleg:

Bij radicalen probeer je het argument te ontbinden en kijk je of er vierkanten zijn die 'van onder de grond' kunnen worden weggenomen.

Voorbeeld: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

In dit geval geen geluk:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Antwoord:

#sqrt (115) # is al in de eenvoudigste vorm.

Uitleg:

De belangrijkste factorisatie van #115# is:

#115 = 5*23#

Omdat er geen vierkante factoren zijn, is het niet mogelijk om de vierkantswortel te vereenvoudigen. Het is mogelijk om het als een product uit te drukken, maar dat telt niet als eenvoudiger:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#kleur wit)()#

Bonus

Net als elke irrationele vierkantswortel van een rationeel getal, #sqrt (115) # heeft een zich herhalende doorgevoerde breukuitbreiding:

#sqrt (115) = 10; balk (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

U kunt de voortgezette breukuitbreiding vroeg afbreken om rationele benaderingen te geven #sqrt (115) #.

Bijvoorbeeld:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Door kort voor het einde van de herhalende sectie van de voortgezette breuk te korten, hebben we zelfs de eenvoudigste rationele benadering gevonden voor #sqrt (115) # dat voldoet aan de vergelijking van Pell.

Dat is:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

verschillen alleen door #1#.

Dit maakt # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # een efficiënte benadering voor #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #