Een driehoek heeft vertices A (a, b), C (c, d) en O (0, 0). Wat is de vergelijking en oppervlakte van de omgeschreven cirkel van de driehoek?

Antwoord:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # waar

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Uitleg:

Ik generaliseerde de vraag; laten we eens kijken hoe dat gaat. Ik heb één hoekpunt bij de oorsprong gelaten, waardoor het een beetje minder rommelig is en een willekeurige driehoek gemakkelijk kan worden vertaald.

De driehoek is natuurlijk totaal niet essentieel voor dit probleem. De omgeschreven cirkel is de cirkel door de drie punten, die toevallig de drie hoekpunten zijn. De driehoek ziet er verrassend uit in de oplossing.

Enige terminologie: de omgeschreven cirkel wordt de driehoek genoemd omgeschreven en in het midden de driehoeken circumcenter.

De algemene vergelijking voor een cirkel met middelpunt # (P, q) # en vierkante straal # S # is

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

en het gebied van de cirkel is #A = pi s. #

We hebben drie onbekenden # P, q, s # en we kennen drie punten, dus we krijgen drie vergelijkingen:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # omdat de oorsprong op de cirkel ligt.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Laten we de gelijktijdige vergelijkingen oplossen. Laten we ze in twee lineaire vergelijkingen veranderen door paren uit te breiden en af te trekken, wat neerkomt op verliezen # P ^ q ^ 2 + 2 # aan de linkerkant en # S # aan de rechterkant.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

aftrekken, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Evenzo

# 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Dat zijn twee vergelijkingen in twee onbekenden. # AX = K # heeft een oplossing # X = A ^ {- 1} K. # Ik herinner me de twee aan twee matrix-invers, die ik niet weet hoe ik moet formatteren, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Dat betekent voor ons

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

en een vierkante straal van

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

dus een gebied van #pi# keer dat bedrag.

We kunnen zien dat de uitdrukking meer symmetrisch wordt als we bedenken wat er gebeurt voor de willekeurige driehoek # (A, B), (C, D), (E, F). # We gaan zitten # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # maar dat zal ik nu niet doen.

Ik zal de teller noteren van # S # is het product van de drie vierkante lengten van de zijden van de driehoek en de noemer van # S # is zestien keer het vierkante gebied van de driehoek.

In Rationele trigonometrie worden vierkante lengtes genoemd quadrances en zestien keer wordt het vierkante gebied het quadrea. We vonden dat de kwadratuur van de straal van de circumcircle het product is van de kwadransen van de driehoek gedeeld door zijn quadrea.

Als we alleen de straal of het gebied van de circumcircle nodig hebben, kunnen we het resultaat hier samenvatten als:

De vierkante straal van de circumcircle is het product van de vierkante lengten van de driehoek gedeeld door zestien keer het vierkante gebied van de driehoek.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #