Als 3x ^ 2-4x + 1 nullen alpha en bèta heeft, welke kwadratische heeft dan nul alpha ^ 2 / beta en beta ^ 2 / alpha?

Antwoord:

Vind # Alpha # en # Beta # eerste.

Uitleg:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

De linkerkant factoren, zodat we hebben

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Zonder verlies van algemeenheid zijn de wortels #alpha = 1 # en #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # en #(1/3)^2/1= 1/9#.

Een polynoom met rationale coëfficiënten met deze wortels is

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Als we integer-coëfficiënten verlangen, vermenigvuldig dan met 9 om het volgende te verkrijgen:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

We kunnen dit vermenigvuldigen als we willen:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTITIE: Meer in het algemeen kunnen we schrijven

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Antwoord:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Uitleg:

Let daar op:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alpha beta #

en:

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alpha) #

#color (wit) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + beta ^ 3) / (alfa beta) x + alpha beta #

#color (wit) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha bèta) x + alfa bèta #

In ons voorbeeld delen # 3x ^ 2-4x + 1 # door #3# wij hebben:

# {(alpha + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Zo:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Dus de gewenste polynoom kan worden geschreven:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Vermenigvuldigen door met #9# om gehele coëfficiënten te krijgen:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Antwoord:

Voorgestelde oplossing hieronder;

Uitleg:

# 3x²-4x + 1 #

Notitie: #een# is alfa, # B # is bèta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Om een vergelijking te vormen vinden we de som en producten van de wortels..

Voor Sum

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Maar; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³ -3ab (a + b) #

daarom;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Daarom vervangen we de waarden..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (03/04)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Vandaar dat de som is #28/9#

Voor producten

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Vandaar dat het product dat is #1/3#

# X²- (a + b) x + ab #

# X²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Doorlopend vermenigvuldigen met #9#

Ik hoop dat dit helpt!