Wat zijn twee voorbeelden van uiteenlopende reeksen?

Antwoord:

#U_n = n # en #V_n = (-1) ^ n #

Uitleg:

Elke reeks die niet convergent is, zou divergent zijn

#U_n = n #:

# (U_n) _ (n in NN) # divergeert omdat het toeneemt, en het geeft geen maximum toe:

#lim_ (n -> + oo) U_n = + oo #

#V_n = (-1) ^ n #:

Deze reeks loopt uiteen, terwijl de reeks wordt begrensd:

# -1 <= V_n <= 1 #

Waarom ?

Een reeks convergeert als deze een limiet heeft, single !

En # V_n # kan worden ontbonden in 2 deelsequenties:

#V_ (2n) = (-1) ^ (2n) = 1 # en

#V_ (2n + 1) = (-1) ^ (2n + 1) = 1 * (-1) = -1 #

Dan: #lim_ (n -> + oo) V_ (2n) = 1 #

#lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) = -1 #

Een reeks convergeert als en alleen als elke subsequentie convergeert tot dezelfde limiet.

Maar #lim_ (n -> + oo) V_ (2n)! = lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) #

daarom # V_n # heeft geen limiet en divergeert dus.