Wat is de absolute extrema van f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) in [2,9]?

Antwoord:

Het absolute minimum is # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# wat gebeurt er wanneer # X = 9 #.

Het absolute maximum is # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # wat gebeurt er wanneer # X = 2 #.

Uitleg:

De absolute extrema van een functie zijn de grootste en kleinste y-waarden van de functie op een bepaald domein. Dit domein kan aan ons worden gegeven (zoals in dit probleem) of het kan het domein van de functie zelf zijn. Zelfs als we het domein krijgen, moeten we het domein van de functie zelf overwegen, in het geval dat het alle waarden uitsluit van het domein dat we krijgen.

#f (x) # bevat de exponent #1/3#, wat geen geheel getal is. Gelukkig is het domein van #p (x) = root3 (x) # is # (- oo, oo) # dus dit feit is geen probleem.

We moeten echter nog steeds rekening houden met het feit dat de noemer niet gelijk kan zijn aan nul. De noemer is gelijk aan nul wanneer #X + = - (1/3) = - (sqrt (3) / 3) #. Geen van deze waarden ligt in het gegeven domein van #2,9#.

We gaan dus op zoek naar de absolute extrema #2,9#. Absolute extrema treedt op bij eindpunten van het domein of bij lokale extremen, dat zijn punten waar de functie van richting verandert. Lokale extremen komen voor op kritieke punten, dit zijn punten in het domein waar het derivaat gelijk is #0# of bestaat niet. We moeten dus het derivaat vinden. De quotiëntregel gebruiken:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 03/02)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3 x ^ (- 03/02) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 03/02) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Als we factor # -3x ^ (- 2/3) # uit de teller hebben we:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3 x ^ 2-1) #

Er zijn geen waarden van #X# op #2,9# waar #f '(x) # bestaat niet. Er zijn ook geen waarden #2,9# waar #f '(x) = 0 #. Er zijn dus geen kritieke punten in het gegeven domein.

Met behulp van de 'kandidaten-test' vinden we de waarden van #f (x) # op de eindpunten. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Een snelle controle van onze calculators toont aan dat:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absoluut maximum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absoluut minimum)