Water lekt uit een omgekeerde conische tank met een snelheid van 10.000 cm3 / min, terwijl water met constante snelheid in de tank wordt gepompt. Als de tank een hoogte van 6 m heeft en de diameter bovenaan 4 m is en als het waterniveau stijgt met een snelheid van 20 cm / min wanneer de hoogte van het water 2 m is, hoe vindt u dan de snelheid waarmee het water in de tank wordt gepompt?

Laat # V # het volume water in de tank, in # Cm ^ 3 #; laat # H # de diepte / hoogte van het water zijn, in cm; en laat # R # de straal van het oppervlak van het water (bovenaan) zijn, in cm. Omdat de tank een omgekeerde kegel is, is ook de massa water. Aangezien de tank een hoogte heeft van 6 m en een straal aan de bovenkant van 2 m, impliceren soortgelijke driehoeken dat # Frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # zodat # H = 3r #.

Het volume van de omgekeerde kegel van water is dan # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Nu onderscheid beide kanten met betrekking tot tijd # T # (in minuten) te krijgen # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (de kettingregel wordt in deze stap gebruikt).

Als #V_ {i} # is het volume water dat is ingepompt # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (wanneer de hoogte / diepte van het water 2 meter is, is de straal van het water # Frac {200} {3} # cm).

daarom # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 approx 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.