Vind de vergelijking van de cirkel met A (2, -3) en B (-3,5) als eindpunten van een diameter?

Om de vergelijking van een cirkel te vinden, moeten we zowel de straal als het midden vinden.

Omdat we de eindpunten van de diameter hebben, kunnen we de middelpuntformule gebruiken om het middelpunt te verkrijgen, wat ook het middelpunt van de cirkel is.

Het middelpunt vinden:

# M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 5 + 3) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Dus het middelpunt van de cirkel is #(-1/2,1)#

De straal vinden:

Omdat we de eindpunten van de diameter hebben, kunnen we de afstandformule toepassen om de lengte van de diameter te vinden. Vervolgens verdelen we de lengte van de diameter met 2 om de straal te verkrijgen. Als alternatief kunnen we de coördinaten van het middelpunt en een van de eindpunten gebruiken om de lengte van de straal te vinden (ik laat dit aan u over - de antwoorden zijn hetzelfde).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# Radius = sqrt (89) / 2 #

De algemene vergelijking van een cirkel wordt gegeven door:

# (X-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Dus we hebben, # (X - (- 02/01)) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Daarom is de vergelijking van de cirkel # (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Antwoord:

# X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Uitleg:

De vergelijking van de cirkel met #A (x_1, y_1) en B (x_2, y_2) # zoals

eindpunten van een diameter is

#color (rood) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

Wij hebben, #A (2, -3) en B (-3,5). #

#:.# De vereiste equn.van de cirkel is, # (X-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => X ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0 #

# => X ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Antwoord:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Zeer volledige uitleg gegeven

Uitleg:

Er zijn twee dingen om op te lossen hoor.

1: wat is de straal (we hebben dat nodig)

2: waar is het middelpunt van de cirkel.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blauw) ("Bepaal het middelpunt") #

Dit zijn de gemiddelde waarden van x's en het gemiddelde van de y's

Gemiddelde waarde van #X#: we gaan van -3 naar 2 wat een afstand is van 5. Halverwege deze afstand is #5/2# Dus we hebben:

#x _ ("gemiddelde") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Gemiddelde waarde van # Y #: we gaan van -3 naar 5, wat 8 is. De helft van 8 is 4 dus we hebben: #-3+4=+1#

#color (rood) ("Middelpunt" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blauw) ("Bepaal de straal") #

We gebruiken Pythagoras om de afstand tussen de punten te bepalen

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Merk op dat 89 een priemgetal is

#color (rood) ("So radius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "Approximately") #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (blauw) ("Bepaal de vergelijking van de cirkel") #

Dit is niet wat er echt gebeurt, maar wat volgt, zal je helpen de vergelijking te onthouden.

Als het centrum er is # (X, y) = (- 1 / 2,1) # dan als we dit punt terug verplaatsen naar de oorsprong (kruising van de as) hebben we:

# (x + 1/2) en (y-1) #

Om dit in de vergelijking van een cirkel te maken gebruiken we Pythagoras (opnieuw) geven:

# R ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Maar dat weten we # r = sqrt (89) / 2 "so" r ^ 2 = 89/4 # geven:

# (X + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #